ناقشت في المقالة السابقة بعض الأرقام الإحصائية التي تستخدم لتلخيص مجموعة من البينات وللمقارنة بين فترات مختلفة. نستكمل في هذه المقالة الحديث فنناقش بعض الأرقام التي تعطينا بعض المعلومات الإضافية عن البيانات.
القيمة القصوى والقيمة الدنيا Maximum and Minimum: القيمة القصوى هي أكبر قيمة في مجموعة البينات والقيمة الدنيا هي أقل قيمة.
مثال: تم قياس الوقت الذي تستغرقه عملية ما عشر مرات وكانت البيانات كالتالي:
17، 13، 16، 16، 14، 13، 11، 15، 18، 17 ثانية
في هذه الحالة تكون القيمة القصوى هي 18 والقيمة الدنيا هي 11 ثانية. وهذه المعلومة تجعلنا نتصور التغير الذي يحدث في وقت العملية. فهناك فارق بين أن يكون وقت العملية يتراوح بين 11 و18 ثانية وأن يكون يتراوح بين 8 و21 ثانية أو 13 و16 ثانية.
المدى Range: المدى هو الفارق بين القيمة القصوى والقيمة الدنيا. في المثال السابق يكون المدى هو 7 ثوان. المدى يبين مقدار التغير الذي يحدث في البيانات.
منتصف المدى Midrange: هو المتوسط الحسابي للقيمة الدنيا والقصوى. ففي المثال السابق يكون منتصف المدى هو (11+18)\ 2= 14.5 ثانية
ذكرت في المقالة السابقة أن المتوسط الحسابي يتأثر بوجود قيم متطرفة وأحب أن ألفت الانتباه هنا إلى أن منتصف المدى يتأثر بالقيم المتطرفة بشكل أكبر نتيجة لاعتماده على القيمة الدنيا والقيمة القصوى فقط. مشكلة هذا الأمر أن القيمة الدنيا أو القصوى ربما كانت مجرد قيمة غير حقيقية نتيجة لخطأ في القياس أو التسجيل أو نتيجة لظروف نادرة التكرار.
الانحراف المعياري Standard Deviation:
الانحراف المعياري هو رقم شهير جدا حتى أن الكثير من البيانات يتم التعبير عنها عن طريق المتوسط الحسابي والانحراف المعياري. الانحراف المعياري يمكن وصفه بأنه متوسط بعد كل بيان أو كل قيمة عن المتوسط الحسابي. فمثلا قد يتساوى الانحراف المعياري لمجموعتين من البيانات ولكن الانحراف المعياري لأحدهما يكون أكبر من الآخر. هذا يعني أن المجموعة الثانية تبتعد فيها القيم عن المتوسط الحسابي أكثر من الأولى. على سبيل المثال: قد يتساوى متوسط درجة الحرارة لبلدين ولكن يكون الانحراف المعياري لإحداهما أكبر من الأخرى. هذا يعني أن درجة الحرارة في البلد ذات الانحراف الأكبر قد تبتعد أكثر عن الدرجة المتوسطة.
مثال: إذا كان متوسط نجاح الطلبة في مادة العلوم هو 77 درجة هذا العام و 77 درجة في العام الماضي ولكن الانحراف المعياري هذا العام هو 5 درجات بينا الانحراف المعياري هو 12 في العام الماضي. في أي الحالتين تكون معظم القيم قريبة من 77 درجة؟ الإجابة هي هذا العام لأن الانحراف المعياري أقل بكثير.
الانحراف المعياري يعبر عن التغير في القيم تعبيرا أدق من القيمة القصوى والدنيا لأنه يأخذ في الاعتبار بعد جميع القيم عن المتوسط الحسابي ولا تتوقف قيمته على قيمتين فقط.
الانحراف المعياري يرمز له بالرمز s إذا تم حسابه لجزء من المجتمع أي إذا كنا نستخدم عينة للتعبير عن المجتمع كله. كلمة مجتمع هنا تعني جميع قيم الشيء الذي ندرسه. فلو أخذنا عينة عشوائية من درجات الحرارة خلال اليوم فإننا نتحدث عن عينة. في هذه الحالة فإن الانحراف المعياري يتم حسابه كالتالي:
وهو عبارة عن الجذر التربيعي لـمجموع (مربع الفارق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي) مقسوما على عدد القيم منقوصا منها واحد.
أما عند وجود بينات كاملة للمجتمع كله مثل جميع درجات الطلبة في الاختبار فإن الانحراف المعياري يحسب كالتالي:
الفارق هو أننا نقسم هنا على عدد البيانات ولا ننقص منها واحدا. ويسمى الانحراف المعياري في هذه الحالة بـ سيجما σ وهي التي ينسب إليها مصطلح Six Sigma. بصفة عامة فالانحراف المعياري له استخدامات كثيرة قد نناقشها في مقالات لاحقة إن شاء الله.
لماذا نستخدم الجذر التربيعي والتربيع؟ الفارق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي مقسوما على عدد القيم هو ما نريده. ولكن هذه القيم قد تلاشي بعضها البعص أي أن الفارق قد يكون موجبا أحيانا وسالبا احيانا. لذلك نلجأ للتربيع ليكون الفارق موجبا دائما. ثم نلجا للجذر التربيعي ليكون للانحراف المعياري نفس وحدات المتوسط الحسابي ونفس وحدات القيم نفسها.
في الواقع لا يهمني كثيرا أن أوضح تفاصيل الحسابات أكثر من ذلك لأنه من المتوقع أنك ستستخدم الحاسوب للقيام بذلك.
معامل الاختلاف Coefficient of Variation:
عندما يكون لدينا حالتان متقاربتان في المتوسط الحسابي فإن المقارنة بين قيم الانحراف المعياري تبين لنا أي الحالتين أكثر تغيرا. ولكن ماذا إذا كان المتوسط الحسابي لإحدى الحالتين أكبر بكثير من المتوسط الحسابي للحالة الأخرى؟ في هذه الحالة فإن مقارنة الانحراف المعياري لا تكون معبرة عن مدى التغير. لذلك نستخدم معامل الاختلاف وهو مجرد نسبة الانحراف المعياري للمتوسط الحسابي.
مثال: إذا كان المتوسط الحسابي لمبيعات شركة ما هو 500 جنيه والانحراف المعياري هو 50 بينما المتوسط لشركة أخرى يساوي 200 والانحراف المعياري يساوي 30 فأي الحالتين أكثر تغيرا؟
معامل الاختلاف للحالة الأولى = 50\500 = 0.1
بينما معامل الاختلاف للحالة الثانية = 30\200=0.15
كما ترى فإن معامل الاختلاف في الحالة الثانية أكثر من الأولى مما يعني أن التغير في القيم في الحالة الثانية أكبر من الأولى.
في المقالات التالية إن شاء الله نستكمل الحديث ونبين كيفية استخدام برنامج إكسل للقيام بكل تلك الحسابات.
مقالات ذات صلة بالموضوع:
من مراجع الموضوع:
Lean Six Sigma Pocket ToolBook, M. George at al., MCGrawHill, 2005
Applied Statistical Methods, W. Carlson and B. Thorne, Prentice Hall, 1997
Statistics for Managers, Levine et al., Prentice Hall, 1999
مواقع ذات صلة بالموضوع:
أشكر لكم طرح هذا الموضوع وقد استفدت منه كثيراً في معرفة مصطلحات كنت أسمع عنها ولا أفهم معناها .
الأستاذ أبو سليمان
أسعدني أنك وجدت في هذه المقالة ما يفيد
شكرا