نظرية الطوابير -3

استعرضنا في المقالة السابقة الحالة الأولى من حالات نظرية الطوابير Queueing Theory، ونستمر في هذه المقالة في استعراض حالات أخرى.

رموز خصائص الطابور:

وقبل أن نسترسل في رحلتنا فإنه تجدر الإشارة لبعض الرموز التي تستخدم للتعبير عن الحالات المختلفة للطوابير في صورة  أ\ب\ت  أو  A/B/C  حيث:

أ: نوع توزيع معدل الوصول (M: بوسون، D: ثابت، E:توزيع إرلانج Erlang، وأخيرا G: توزيع عام)

ب: نوع توزيع زمن الخدمة (نفس مصطلحات أ حيث M: توزيع أسي والباقي كما هو)

ت: عدد قنوات الخدمة (1 أو 2 او 3 ….)

فعندما نقول M/M/1 فهذا يعني أن الوصول يتبع توزيع بوسون وان الخدمة تتبع التوزيع الأسي وأن عدد قنوات الخدمة هي 1، وإذا قلنا M/D/3 فهذا يعني أن الوصول يتبع توزيع بوسون وان زمن الخدمة ثابت وأن عدد قنوات الخدمة هو 3.

هذه هي الصورة الشائعة والتي توضح الخصائص الأساسية للطابور ولكن الصورة الكاملة لتوضيح خصائص الطابور كلها هي أ\ب\ت\ث\ج\ح  حيث:

ث: نظام الطابور (الخدمة بأسبقية الوصول، الخدمة عكس أسبقية الحضور، عشوائي …)

ج: الحد الأقصى لعدد العملاء في المنظومة (قد يكون عددا محددا مثل 5 أو 12 … أو قد يكون بلا حدود فالطابور يمتد في الطريق إلى أي عدد)

ح: حجم مصدر طالبي الخدمة (قد يكون محدودا وقد يكون غير محدود أي لا نهائي رياضيا)

الأشكال التالية تلخص هذه الرموز:

رموز عملية الوصول:

رموز زمن الخدمة:

رموز نظام الطابور:

وبهذا يمكن ان نرمز للحالة الأولى بـ  م\م\1\ن ع\لا نهائي\ لانهائي  أو  M/M/1/GD / inf / inf

وتجدر الإشارة إلى أن هذه الرموز تنسب لـ كيندل Kendall والذي اقترحها في عام 1953. أما الرموز العربية فهي اقتراح من كاتب هذه المقالة لرموز عربية مناظرة للرموز الإنجليزية.

2- قناة واحدة – مرحلة واحدة – زمن خدمة ثابت:

هذه الحالة هي نفسها الحالة الأولى إلا أن زمن الخدمة لا يتبع التوزيع الأسي بل هو ثابت.لذلك نرمز لها بـ    م\ث\1\ن ع\لا نهائي\ لانهائي   أو  M/D/1/GD / inf / inf

في هذه الحالة تتغير المعادلات كما يلي:
هناك فارق جوهري بين هذه المعادلات ومعادلات الحالة الأولى، فمتوسط زمن الانتظار ومتوسط عدد العملاء في الطابور يساوي نصف نظيره في الحالة الأولى، أي أننا لو استطعنا تثبيت زمن الخدمة لتمكنَّا من تخفيض وقت الانتظار وطول الطابور إلى النصف. هذه نتيجة مدهشة تدعونا للتفكير في تأثير التغير في أزمنة الأعمال على مستوى الأداء. وكما تذكر فإن الانتظار ينشأ بسبب تغير معدل الحضور ومعدل الخدمة، فعندما يكون معدل الخدمة أعلى من معدل الوصول وكلاهما ثابت فإنه لن يكون هناك انتظار، ولكن مجرد تغير الحضور في ساعة عن أخرى ومجرد تغير زمن خدمة عميل عن آخر يتسبب في حدوث الانتظار، ولو أصبح زمن الخدمة ثابتا لتخلصنا من نصف الانتظار، ولو صار معدل الحضور ثابتا لتخلصنا من النصف الآخر.

مثال: دعنا نعود لنفس مثالنا السابق حيث معدل الوصول  9 عملاء في الساعة  وزمن الخدمة 5 دقائق   ولكن زمن الخدمة هنا ثابت.

ص = 9 عميل/ساعة

خ= 1/5 عميل/دقيقة = 60/5 = 12 عميل في الساعة

احتمالية عدم وجود أي عميل = 1- (9÷12)=  0.25= 25%

عدد العملاء المتوسط داخل منظومة الخدمة =  9*9 ÷(2 * 12* (12-9))+( 9÷ 12 )  = 81 ÷   72   + 0.75= 1.875 عميل

عدد العملاء المتوسط في الطابور=9*9 ÷(2 * 12* (12-9))=81 ÷   72 = 1.125 عميل

متوسط الوقت الكلي الذي يقضيه العميل في المنظومة = 9 ÷(2 * 12* (12-9))+( 1÷ 12 )= 9 ÷ 72 + 1÷ 12= 0.208 ساعة = 12.5 دقيقة

متوسط وقت الانتظار = 9 ÷(2 * 12* (12-9))= 9 ÷ 72 = 0.125 ساعة = 7.5 دقيقة

احتمالية انشغال مقدم الخدمة = 9 ÷ 12 = 0.75= 75%

لاحظ أن متوسط زمن الانتظار قد انخفض من 15 دقيقة إلى 7.5 دقيقة، وان متوسط عدد العملاء في الطابور قد انخفض من 2.25 إلى 1.125 عميلا.

وبعيدا عن الحسابات فإننا نفهم من هذا المثال أننا لو أردنا تقليل وقت الانتظار وطول الطوابير فعلينا أن نبدأ بدراسة كيفية تقصير زمن الخدمة او تقليل التغير فيه، وهذا ياتي من دراسة لخطوات عمليات الخدمة ومحاولة تبسيطها او تسريعها، وقد يكون بتدريب العاملين تدريبا جيدا على الخطوات القياسية للعمل بحيث لا يتغير زمن الخدمة حسب الموظف القائم بها.

ويمكننا رسم علاقة زمن الانتظار وطول الطابور بزمن زمن الخدمة  باستخدام المعادلات لنحصل على الأشكال التالية:

وكذلك مع معدل الوصول:

وأترك للقارئ الكريم ملاحظة تأثير تغير معدل الوصول وزمن الخدمة على طول الطابور ووقت الانتظار.

وفي المقالات التالية بمشيئة الله نتعرف على حالات أخرى من نظرية الطوابير.

موضوعات ذات صلة:

نظرية الطوابير -1

نظرية الطوابير -2