نظرية الطوابير -4

نستكمل رحلتنا مع نظرية الطوابير فنتعرف على المزيد من الحالات المختلفة في خصائصها.

3- قناة واحدة – مرحلة واحدة – طابور محدود العدد:

هذه حالة مختلفة عن الحالة الأولى والثانية وذلك لأننا نفترض هنا أن الطابور له طول محدود أي أن طول الطابور عندما يصل لعدد معين فلا يسمح لأحد بالانضمام للطابور، والسبب في ذلك قد يكون ضيق مساحة الانتظار أو تحديدها بعدد معين. وبهذا يمكن ان نرمز لهذه الحالة بـ  م\م\1\ن ع\م\ لانهائي  أو  M/M/1/GD /C / inf  حيث م  أو C هي قيمة الحد الأقصى لعدد العملاء في منظومة الخدمة.

في هذه الحالة تتغير الحسابات بعض الشيء نظرا لأن احتمالية أن يزيد عدد العملاء في المنظومة عن م هو صفر، وتصبح المعادلات كالتالي:

مثال:نعود لنفس مثالنا في المقالات التالية وهو: افترض أن مركزا يقدم خدمة توثيق الشهادات العلمية، ويستغرق توثيق الشهادة في المتوسط خمس دقائق (تخضع للتوزيع الأسي)، ويصل لهذا المركز في المتوسط 9 عملاء في الساعة (تخضع لتوزيع بوسون).ولكننا سنضيف أن أقصى عدد للعملاء في منظومة الخدمة هو 7.

ما هو متوسط عدد العملاء داخل مركز الخدمة، وما هو وقت الانتظار؟

ص = 9 عميل/ساعة

خ= 1/5 عميل/دقيقة = 60/5 = 12 عميل في الساعة

احتمالية عدم وجود أي عميل = 28%

احتمالية ألا يجد العميل مكانا في الطابور أي احتمالية وجدو 7 عملاء في منظومة الخدمة= 3.7%

عدد العملاء المتوسط داخل منظومة الخدمة =  2.1 عميل

عدد العملاء المتوسط في الطابور=1.4 عميل

متوسط الوقت الكلي الذي يقضيه العميل في المنظومة = 0.24 ساعة = 14.6 دقيقة

متوسط وقت الانتظار =  0.16 ساعة = 9.6 دقيقة

وتختلف النتائج حسب أقصى عدد للعملاء في المنظومة، فلو كان يمكننا أن نستوعب حتى 12 عميلا فإن النتائج تصبح:

احتمالية عدم وجود أي عميل = 25.6%

احتمالية ألا يجد العميل مكانا في الطابور أي احتمالية وجود 12 عميلا في منظومة الخدمة= 0.8%

عدد العملاء المتوسط داخل منظومة الخدمة =  2.7 عميل

عدد العملاء المتوسط في الطابور= 1.9  عميل

متوسط الوقت الكلي الذي يقضيه العميل في المنظومة = 18 دقيقة

متوسط وقت الانتظار  = 13 دقيقة

وكلما زاد الحد الأقصى لعدد لاعملاء في منظومة الخدمة كلما اقتربنا من نفس نتائج الحالة الأولى التي لا يكون فيها حد أقصى لطول الطابور.

4- قناة واحدة – مرحلة واحدة – مصدر طالبي الخدمة محدود العدد:

في هذه الحالة فإن العدد الكلي لكل من قد يفكر في طلب الخدمة محدودا، مثال ذلك: مطعم المؤسسة يخدم العاملين بالمؤسسة وبالتالي فإن مصدر طالبي الخدمة محدودا، فلو كان عددهم 100 فإن 90 قد يحضرون للمطعم أو 80 أو 100 ولكن المؤكد أن العدد لن يتجاوز المائة، وكذلك كل مؤسسة أو كل شخص يؤدي خدمة لعدد محدود من الناس كالمدرس الذي يخصص ساعة لاستفسارات التلاميذ في الفصل، أو كمركز الصيانة الذي يخدم مشتركين في الخدمة، أو الممرضة التي تخدم عددا من المرضى.

ويمكن ان نرمز لهذه الحالة بـ  م\م\1\ن ع\ن\ ن  أو  M/M/1/GD /N /N  حيث ن  أو N هي قيمة العدد الكلي للعملاء الذين قد يطلبون هذه الخدمة. لاحظ ان الحد الأقصى للعملاء في المنظومة هو ن أيضا لأن عدد العملاء في المنظومة لا يمكن أن يزيد عن العدد الكلي للعملاء الذين قد يطلبون الخدمة (مصدر طالبي الخدمة).

معدل الوصول في هذه الحالة هو معدل الوصول لكل طالب خدمة أي معدل عطل الماكينة أو معدل طلب المشترك الخدمة، فهو ليس معدل  وصول أي مشترك فمثلا لو كان مركز صيانة في شركة مسئول عن إصلاح 100 ماكينة وكانت الماكينة تعمل في المتوسط 1000 ساعة قبل الحاجة لإصلاح فإن معدل الوصول سيساوي 1/1000 = 0.001  ساعة.

في هذه الحالة تصبح المعدلات كالتالي:

تلاحظ في المعادلة الأولى استخدام ن! وهذا تعبير رياضي -قد يكون قد مر عليك من قبل – وهو يعني مضروب ن أي حاصل ضرب ن في كل الأعدادا الأقل منها حتى الواحد الصحيح، فمضروب 6= 6 * 5 * 4 * 3 * 2 *1= 720، ومضروب 5 = 5 * 4 * 3 * 2 *1= 120 وهكذا. والمقام في المعادلة الأولى هو مجموع ناتج التعويض بـ س =1 إلى قيمة ن وهي حجم (عدد) مصدر طالبي الخدمة.

مثال: افترض أن مؤسسة لديها 100 موظف ولديها مركزا للاستعلام التليفوني بخط واحد، وفي المتوسط فإن كل موظف يتصل مرة واحدة  في اليوم، وتستغرق الإجابة عليه في المتوسط خمس دقائق. ما هو وقت الانتظار والخدمة…..

ص= 1\24=  0.0416   في الساعة

خ= 1 \5 = 0.2 عميل في الدقيقة = 12 عميل في الساعة

احتمالية عدم وجود أي عميل = 65.46%

عدد العملاء المتوسط داخل منظومة الخدمة =  0.52 عميل

عدد العملاء المتوسط في الطابور(المنتظرين على التليفون) = 0.178  عميل

متوسط الوقت الكلي الذي يقضيه العميل في المنظومة = 7.57 دقيقة

متوسط وقت الانتظار  = 2.57 دقيقة

ماذا لو كان زمن الخدمة المتوسط هو 7 دقائق؟

خ= 1/ 7 = 8.57 عميل في الساعة

احتمالية عدم وجود أي عميل = 51.84%

عدد العملاء المتوسط داخل منظومة الخدمة =  0.91 عميل

عدد العملاء المتوسط في الطابور(المنتظرين على التليفون) = 0.43  عميل

متوسط الوقت الكلي الذي يقضيه العميل في المنظومة = 13.25 دقيقة

متوسط وقت الانتظار  = 6.25 دقيقة

بهذا نكون قد تعرفنا على كيفية حساب أوقات الانتظار وطول الطابور لأربع حالات مختلفة تشترك جميعها في أن قناة الخدمة هي قناة واحدة. في المقالات التالية إن شاء الله نتعرف على التعامل مع نفس الحالات ولكن في حالة وجود أكثر من قناة للخدمة.

ولكي تتم الفائدة من هذه المقالات، حاول تطبيقها على أي طابور أو أي عملية انتظار تقابلها لكي تتفهم طبيعة المعادلات وتقارن بين الحالات المختلفة. ربما كان شكل المعادلات لأول وهلة معقدا ولكن بالتطبيق تظهر بساطتها.

موضوعات ذات صلة:

نظرية الطوابير -1

نظرية الطوابير -2

نظرية الطوابير -3