ناقشنا في المقالة السابقة منحنى التوزيع الطبيعي القياسي وهو منحنى له متوسط يساوي صفر وانحراف معياري يساوي 1. ويستخدم هذا المنحنى كوسيلة لتحديد المساحة تحت أي منحنى توزيع طبيعي والتي تمثل احتمالية أن يأخذ المتغير قيما في مدى محدد. نستكمل في هذه المقالة استعراض منحنى التوزيع الطبيعي القياسي فنناقش أنواع جداول منحنى التوزيع الطبيعي القياسي والتي تُعطي المساحة تحت المنحنى لقيم مختلفة لـ Z ثم نستعرض بعض الأمثلة الإضافية لتطبيقات منحنى التوزيع الطبيعي.
أنواع الجداول:
في هذا العصر أصبح من اليسير أن تَحسِب الاحتمالات الخاصة بمنحنى التوزيع الطبيعي باستخدام الحاسوب ولكن في نفس الوقت قد تحتاج أن تستخدم الجداول. وهناك أكثر من أسلوب عرض لهذه الجداول. فبعض هذه الجداول يعطيك المساحة على يسار القيمة فمثلا عند قيمة Z=0 يعطيك 0.5 لأن المتوسط يقسم المساحة إلى نصفين متماثلين وبالتالي فالمساحة على يمين المتوسط تساوي 0.5 لأن المساحة الكلية تحت المنحنى القياسي تساوي 1. الشكل التالي يبين مفهوم هذا الجدول. فالرقم المناظر لقيمة Z=1 هو 0.8413 وهو المساحة الكلية على يسار Z=1.
وبعض الجداول يبدأ من المتوسط فيعطيك عند المتوسط ( Z = 0) صفرا. ولذلك يجب النظر إلى القيمة المناظرة لـ Z =0 لكي نفهم أسلوب التعامل مع الجدول. الشكل التالي يبين معنى القيم التي تحصل عليها من هذا الجدول فالرقم المناظر لقيمة Z=1 هو 0.3413 وهو يقل عن الرقم الذي حصلنا عليه من الجدول الأول بـ 0.5 وهي قيمة المساحة على يسار المتوسط. فهذا الجدول يعطيك لمساحة المحصورة بين الرقم والمتوسط وهي المساحة المظللة باللون الأخضر. (لاحظ أن الجدول المعروض أدناه هو جزء من الجدول وليس الجدول كله)
ما هي الأرقام الموجودة في أول صف؟
إن هذا الجدول يستخدم أسلوبا خاصا لتحديد الكسر المئوي لـ Z. افترض أننا نريد القيمة المناظرة لـ Z=0.23. إنها في الصف المناظر لـ 0.2 والعمود المناظر لـ 0.03 أي 0.2 + 0.03 = 0.23. والقيمة في الجدول الأخير هي 0.0910 وهي في الجدول الأول 0.5910 (الفارق بينهما 0.5 كما ذكرنا). ومثلا القيمة المناظرة لـ Z= 0.35 هي في الصف المناظر لـ 0.3 والعمود المناظر لـ 0.05. وهي في الجدول الأخير 0.1368 وفي الجدول الأول 0.6368.
كيف نستخدم الجدول؟
على سبيل المثال لو كنا نريد أن نعرف احتمالية أن يقل المتغير عن قيمة كذا والتي هي أكبر من المتوسط فإننا نلجأ للجدول وافترض أننا وجدنا القيمة هي 0.32 وكانت القيمة عند المتوسط هي صفر فإننا نضيف 0.5 فتصبح الاحتمالية هي 0.82. أضفنا 0.5 لنضيف المساحة على يسار المتوسط. أما لو كانت القيمة في الجدول المناظرة للمتوسط هي 0.5 فإننا سنجد القيمة المناظرة لقيمة المتغير 0.82 ولن نحتاج لإضافة 0.5. الأمر يبدو في البداية صعبا ولكن بفهم الجدول وفهم المساحة التي نريد حسابها نستطيع الوصول للنتيجة الصحيحة.
افترض أنك تريد احتمالية تجاوز Z لـ 0.14. سندخل للجدول الأول ونجد القيمة المناظرة هي 0.5557. ما هذه القيمة؟ إنها المساحة الكلية على يسار Z= 0.14. ولكننا نريد المساحة على يمين Z= 0.14 لأنها هي التي تمثل احتمالية زيادة Z عن 0.14. لذلك نطرح 1- 0.5557 فنحصل على الناتج وهو 0.4443.
ولو استخدمنا الجدول الأخير لوجدنا القيمة المناظرة هي 0.0557 وهي القيمة من المتوسط وحتى 0.14. ولكننا نريد المساحة بعد 0.14 لذلك نطرح 0.5 – 0.0557 فنحصل على الناتج نفسه وهو 0.4443. كان من الممكن أن نضيف 0.5 لـ 0.0557 لكي نحصل على المساحة الكلية على يسار 0.14 ثم نطرحها من 1 كما فعلنا في الجدول الأول.
أمثلة أخرى على منحنى التوزيع الطبيعي القياسي:
المثال الأول: افترض أننا رسمنا المدرج التكراري لحجم المبيعات اليومي ووجدنا أنه يتبع منحنى التوزيع الطبيعي بمتوسط 2600 وانحراف معياري 80. ونريد أن نعرف حجم المبيعات المتوقع في 95% من الأيام.
علينا أن نسأل أنفسنا ما هي المساحة التي تبين حجم المبيعات في 95% من الأيام؟ هل المطلوبة المساحة التي تساوي 0.95 بدءا من اليسار أم من اليمين؟ في الواقع إننا نريد أن نستبعد الأرقام النادرة الحدوث. فمثلا على الرغم من أن المتوسط يساوي 2600 فإننا في بعض الأيام النادرة قد نبيع 2700 أو 2200. ولكننا لكي نتخذ بعض القرارات الإدارية نريد أن نحدد مدى لحجم المبيعات فنقول إننا في 95% من الأيام نبيع ما قيمته كذا إلى كذا. لذلك فنحن نريد أن نستبعد حجم المبيعات النادر الحدوث سواء كان كبيرا أو صغيرا.
معنى هذا أننا سنستبعد المساحة أقصى اليمين والمساحة أقصى اليسار وتبقى مساحة في الوسط تساوي 0.95. فما هي المساحة على اليمين واليسار؟ لكي نصل إلى مساحة في المنتصف تساوي 0.95 فإننا سنستبعد من الجانبين ما قيمته 1- 0.95 = 0.05. وهذه المساحة مقسمة بالتساوي على الجانبين أي اننا سنستبعد مساحة قدرها 0.025 من اليمين و 0.025 من اليسار.
فما هي القيم التي سنبحث عنها؟ إننا نريد القيمة المناظرة لمساحة 0.025 وذلك لنستبعد المساحة على اليسار. ماذا عن المساحة على اليمين؟ نظرا لأن لمساحة الكلية تساوي واحد فإننا نبحث عن المساحة المناظرة لـ 1 – 0.025 = 0.0975. لقد قمنا بالطرح من 1 لأن الجداول لا تعطي المساحة لعى اليمين بل تعطينا دائما المساحة على اليسار.
نستخدم الجداول فنبحث بطريقة عكسية لما لتبعناه سابقا. إننا نبحث عن قيمة المساحة (الاحتمال) ثم نحدد قيمة Z المناظرة لها. في الأمثلة السابقة كنا نعرف Z ونريد المساحة المناظرة لها ولكننا هنا نفعل العكس حسب طبيعة السؤال. ويمكن استخدام الحاسوب ولكننا هنا سنستخدم الدالة
NORMSINV
فنكتب في أي خلية
NORMINV (0.025)
فنحصل على -1.96
ثم نكتب
NORMINV (0.975)
فنحصل على 1.96
فنحن نبيع ما يوازي Z=-1.96 وحتى 1.96 في 95% من الأيام. فما هي القيمة الحقيقة المناظرة لـ Z= -1.96 و Z = 1.96؟ نستخدم نفس المعادلة المعتادة ولكننا هنا نريد تحديد X بمعرفة قيمة Z فتصبح المعادلة كالتالي
X = µ + Z * σ
وبالتعويض
X= 2600 + (-1.96) * 80 = 2443
X= 2600 + (1.96) * 80 = 2757
أي أننا في 95% من الأيام نبيع ما يتراوح بين 2443 و 2757. ويمكن أن نقول ذلك بصيغة أخرى وهي أننا متأكدين بنسبة 95% أننا نبيع ما يتراوح بين 2443 و 2757.
المثال الثاني: افترض أننا نبيع وجبات سريعة وفكرنا في أن نلتزم بان نقدم الوجبة مجانا إذا تم تسليم الوجبة بعد أكثر من زمن محدد. في هذه الحالة نحن نحاول إرضاء العميل ولكننا لا نريد أن نقدم نصف أو ربع الوجبات مجانا. لذلك ينبغي أن يكون لدينا تقدير لعدد الوجبات التي قد نقدمها مجانا. لذلك قمنا بقياس زمن إعداد الوجبة على مدار عدة أيام فحصلنا على بيانات تشبه منحنى التوزيع الطبيعي بمتوسط 15 دقيقة وانحراف معياري دقيقتين. ونريد أن نحدد الزمن الذي سنتجاوزه في 10% من الحالات وكذلك في 1% و5% من الحالات لكي نقرر ما هو الزمن الذي سنلتزم به؟
ما هي المساحة التي نريد حسابها؟ إننا لا نريد حساب مساحة بل نبحث عن قيمة Z المناظرة لمساحة ما. فما هي المساحة؟ هل هي 0.1؟ إننا نريد المساحة التي تناظر Z التي سنتجاوزها في 10% من الحالات أي لن نتجاوزها في 90% من الحالات. فنحن نريد قيمة Z المناظرة لمساحة 0.9. وبنفس الطريقة نريد حساب Z المناظرة لـ 0.99 و0.95.
باستخدام الحاسوب والدالة NORMSINV نحصل على قيم Z كالآتي:
0.90… Z= 1.28
0.95 …64.Z= 1
0.99… Z= 2.32
ما هو الزمن المناظر لهذه القيم لـ Z أي ما هي قيم X المناظرة لـ Z؟ نستخدم نفس المعادلة
X = µ + Z * σ
بالحساب نحصل على قيم X وهي على التوالي: 17.6، 18.3، 19.7. معنى ذلك أننا نقدم الوجبة في أقل من 17.6 دقيقة في 90% من الحالات ونقدمها في أقل من 18.3 دقيقة في 95% من الحالات ونقدمها في أقل من 19.7 دقيقة في 99% من الحالات.
بذلك نكون قد قدمنا لإدارة المطعم معلومات عظيمة تمكنهم من اختيار الزمن الذي سنتلزم به تجاه العميل. فعلينا أن نحسب تكلفة 10% من الوجبات و5% من الوجبات و1% من الوجبات ونختار ما هو مناسب من ناحية التكلفة والمنافسة.
كما ترى فإن منحنى التوزيع الطبيعي هو أداة عظيمة لاتخاذ قرارات إدارية مبنية على الحسابات وليست بالتخمين. وانظر إلى حجم المخاطرة لو التزمنا بزمن محدد للوجبة بدون إجراء هذه الحسابات.
في المقالة التالية إن شاء الله نستعرض نظرية الحد المركزية وكذلك بعض التوزيعات الأخرى.
صفحات أخرى:
منحنى التوزيع الطبيعي القياسي -2
نظرية الحد المركزية Central Limit Theorem
تلخيص البيانات باستخدام برنامج إكسل
من مراجع المقالة:
Applied Statistical Methods, W. Carlson and B. Thorne, Prentice Hall, 1997
Statistics for Managers, Levine et al., Prentice Hall, 1999
ربنا يبارك لك على المعلومات القيمة هذه ! حقيقى شرحك ساعدنى كتير
الف شكر – ربنا يبارك لك .
So many thanks,
جزاكم الله خيرا……..